在湖南，离职当月的公积金公司通常是不会继续缴纳的。公积金的缴纳是基于员工与公司的劳动关系而存在的，一旦员工离职，劳动关系即告终止，公司也就没有义务继续为该员工缴纳公积金。

不过，这并不意味着离职员工的公积金就此停止。离职后，员工可以选择将公积金账户转移至新单位，或者根据相关规定提取公积金。对于公积金的提取，通常需要满足一定的条件，如购买住房、偿还房贷、退休等。员工在离职后可以向原单位或公积金管理中心咨询具体的提取流程和条件。

总之，离职当月的公积金公司一般不会继续缴纳，但员工仍可以根据个人情况选择后续处理方式。在处理公积金相关事宜时，建议员工及时咨询相关部门或专业机构，以确保自身权益得到保障。