针对09款天籁NATS天线放大器故障，可以尝试以下步骤来解决：

验证故障：首先，确保故障确实存在并且与NATS天线放大器有关。这可以通过对车辆进行故障测试来完成，确保测试结果与反馈的故障情况相符。

检查电瓶和遥控器电池：确保电瓶和遥控器电池状态正常，因为电池问题有时可能导致类似的故障。

电脑检测：使用专业的汽车诊断工具对车辆进行电脑检测。如果检测到故障码B1610，这表示天线放大器存在问题。

更换钥匙天线：如果电脑检测显示钥匙天线有问题，尝试更换钥匙天线。在更换后，重新匹配钥匙，看看是否能解决遥控器无法使用的问题。

检查智能钥匙控制单元：如果更换钥匙天线后问题依旧，考虑采用替换方式检查智能钥匙控制单元。如果替换后故障仍然存在，这意味着问题可能不在控制单元上。

检查线路：进一步检查智能钥匙控制单元与BCM模块之间的线路连接。如果发现插头针脚松动，进行紧固修复。

重新匹配和测试：在修复线路后，重新匹配智能钥匙系统，并进行测试以确保故障已被排除。

如果以上步骤都无法解决问题，建议联系专业的汽车维修人员或前往汽车维修店进行进一步的检查和维修。因为NATS天线放大器故障可能涉及更复杂的电路和模块，需要专业的工具和技术来修复。