含未知数的组合数问题通常涉及到对组合数公式
C_n^m = \\frac{n!}{m!(n-m)!}
C
n
m
=
m!(n−m)!
n!
的变形和求解。
解决这类问题的一般步骤如下：
写出组合数公式：首先，根据题目条件，写出包含未知数的组合数公式。
化简公式：利用组合数的性质（如对称性
C_n^m = C_n^{n-m}
C
n
m
=C
n
n−m
，递推关系
C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}
C
n
m
=C
n−1
m
+C
n−1
m−1
等）和阶乘的性质（如
n! = n \\times (n-1)!
n!=n×(n−1)!），对公式进行化简。
建立方程：根据化简后的公式和题目中的其他条件，建立关于未知数的方程。
解方程：使用代数方法解方程，求出未知数的值。
下面通过一个具体例子来说明这个过程：
例：已知
C_n^3 = 20
C
n
3
=20，求
n
n的值。
解：
写出组合数公式：
C_n^3 = \\frac{n!}{3!(n-3)!}
C
n
3
=
3!(n−3)!
n!
。
化简公式：
C_n^3 = \\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \\times 2 \\times 1} = \\frac{n(n-1)(n-2)}{6}
C
n
3
=
3×2×1
n(n−1)(n−2)
=
6
n(n−1)(n−2)
。
建立方程：根据
C_n^3 = 20
C
n
3
=20，有
\\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 20
6
n(n−1)(n−2)
=20。
解方程：将方程两边乘以6，得到
n(n-1)(n-2) = 120
n(n−1)(n−2)=120。
展开并整理，得到
n^3 - 3n^2 + 2n - 120 = 0
n
3
−3n
2
+2n−120=0。
解这个三次方程，得到
n = 8
n=8（其他两个解不符合实际情况，因为
n
n必须是正整数且大于或等于3）。
所以，
n
n的值为8。
注意：在实际问题中，可能还需要考虑
n
n的取值范围或其他约束条件，以确保解的有效性。