阳澄湖镇的居民在需要申请劳动仲裁时，可以前往该镇下辖的劳动保障监察所（也称人力资源和社会保障局），并按照相关规定办理申请手续。劳动保障监察所是政府机构，负责处理与劳动权益有关的纠纷或争议，包括合同签订、工资福利、工伤保险等方面。

申请人应准备相关证据材料，如劳动合同、工资条、病假条等，并在规定时间内提交申请。一旦劳动仲裁申请成功，相关部门将安排庭审，并对争议进行裁决。