基圆直径计算公式的推导主要基于齿轮的几何特性和数学原理。

首先，我们知道基圆相当于是分度圆，它的基础定义为标准齿轮的齿槽宽与齿厚相等的圆。基圆的直径与齿轮的模数（m）和齿数（z）有直接关系。

基圆直径（df）的计算公式为：df = m(z - 2.5)。其中，m代表模数，z代表齿数。这个公式反映了基圆直径与齿轮的基本参数之间的关系。

另外，基圆直径也可以通过另一种方式计算，即基圆直径 = 分度圆直径 × 分度圆压力角的余弦。其中，分度圆直径 = 齿数 × 模数，分度圆压力角一般为20度（在某些特殊情况下可能采用其他数值，如15度）。这个公式从另一个角度描述了基圆直径的计算方法，其中涉及到了三角函数的知识。

综上所述，基圆直径计算公式的推导主要基于齿轮的几何特性，结合模数、齿数以及三角函数等数学知识进行推导得出。这些公式对于理解和计算齿轮的基本参数具有重要意义。